ˆ pˆ. παραγωγίστε ως προς το χρόνο και χρησιμοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυματοσυνάρτησης. Θα βρείτε.

Άσκηση. Η Hamiltoia ενός συστήματος έχει τη γενική μορφή ˆ pˆ H V ( xˆ ) m Δείξτε ότι d V ( xˆ ) pˆ F( xˆ) t dt x def. t Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής pˆ dx ( x, t) pˆ( x, t), παραγωγίστε ως προς το χρόνο και χρησιμοποιείστε την εξίσωση Schrodiger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυματοσυνάρτησης. Θα βρείτε d p ˆ [ ˆ, ˆ ] t p H. dt i t Η συνέχεια είναι απλή αρκεί να αποδείξετε ότι για μια τυχαία συνάρτηση Άσκηση. ˆ [ ˆ, ] ( ) ( ( )) ( ) [ ˆ, ˆ p H f x i V x f x p H] i V ( xˆ ) x x Έστω σύστημα δύο σωματίων τα οποία δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και είναι διακρίσιμα ( έχουν διαφορετική μάζα, για παράδειγμα). Η Hamiltoia του συστήματος αυτού είναι (αφού δεν υπάρχει αλληλεπίδραση) H ˆ ˆ ˆ. H H όπου ο πρώτος όρος αφορά στο σωμάτιο και ο δεύτερος στο σωμάτιο : i ( x ˆ, t) H ( x, t) και t i ( x ˆ, t) H ( x, t). t (α) Έστω ότι γνωρίζετε τόσο την όσο και την. Εξηγείστε γιατί η κυματοσυνάρτηση του συστήματος πρέπει να έχει τη μορφή ( x, x, t) ( x, t) ( x, t) t t (Σκεφτείτε ότι το να βρεθεί το σωμάτιο στη θέση x και το σωμάτιο στη θέση x, είναι δύο ανεξάρτητα μεταξύ τους τυχαία γεγονότα. ) (β) Δείξτε ότι μόνο εάν η χρονική παράγωγος στην εξίσωση Schrodiger είναι πρώτης τάξης θα έχετε ότι i ( x ˆ, x, t) Ho. ( x, x, t) t

(γ) Εξηγείστε, τώρα, γιατί πρέπει η εξίσωση Schrodiger να είναι πρώτης τάξης ως προς το χρόνο εάν θέλετε να ερμηνεύσετε τη λύση της ως πλάτος πιθανότητας. Άσκηση 3. Επιβεβαιώστε ότι η εξίσωση Schrodiger ενός ελευθέρου σωμάτιου δέχεται λύσεις k κυματικού τύπου: exp[ i( kx t)] υπό την προϋπόθεση ότι. m Αναφερόμενοι στην προηγούμενη άσκηση δείξτε ότι τέτοιου τύπου λύσεις δεν είναι δυνατό να περιγράψουν ένα σύστημα δύο ελευθέρων σωματιδίων. Καταλαβαίνετε τώρα γιατί η ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης ως κύματος το πολύ-πολύ να είναι μια χρήσιμη αναλογία για την ερμηνεία της συμπεριφοράς ενός σωματιδίου αλλά με κανένα τρόπο δεν μπορούμε να την πάρουμε στα σοβαρά; Άσκηση 4. H Hamiltoia ενός συστήματος έχει τη μορφή ˆ pˆ H V ( xˆ) iw ( xˆ) m όπου οι συναρτήσεις W x είναι πραγματικές. V x και ( ) (α) Βρείτε πώς θα αλλάξει η εξίσωση συνέχειας ( Η απάντηση είναι : P( x, t) J( x, t) W ( x) P( x, t) με P και t x J. Μπορείτε να τη βρείτε με το συνήθη τρόπο im x x (παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο την πυκνότητα πιθανότητας P ) αλλά και ως εξής: Πολλαπλασιάστε την εξίσωση Schrodiger με τη συζυγή κυματοσυνάρτηση: i Hˆ. Αφαιρέστε από την έκφραση αυτή τη μιγαδικά συζυγή της και θα t πάρετε τη ζητούμενη εξίσωση.) (β) Αν η συνάρτηση W είναι απλώς μια θετική σταθερά δείξτε ότι ( t) () t e όπου : ( t) dx ( x, t) και. W (γ) Συνδυάζοντας τα αποτελέσματα των απαντήσεων (α) και (β) εξηγείστε γιατί αν η Hamiltoia δεν είναι ερμιτιανός τελεστής το φυσικό σύστημα που προσπαθούμε να

περιγράψουμε είναι ανοικτό και επομένως το σωμάτιο μπορεί να «διαφύγει» προς το περιβάλλον του. Άσκηση 5. Ας πούμε ότι θέλετε να περιγράψετε ένα κβαντικό σωμάτιο με μια «κυματική» εξίσωση της μορφής: mc ( ). c t x (Η εξίσωση αυτή λέγεται εξίσωση Klei-Gordo και προτάθηκε ως γενίκευση της εξ. Schrodiger ώστε να ικανοποιείται η σχετικιστική σχέση ενέργειας ορμής: 4 E p c m c. Πράγματι μπορείτε εύκολα να δείτε ότι η παραπάνω εξίσωση δέχεται λύσεις exp[ i( kx t)] υπό την προϋπόθεση ότι ( ) ( ) 4 k c m c.) (α) Χρησιμοποιείστε την τεχνική που υπάρχει στην υπόδειξη της προηγούμενης άσκησης για να βρείτε την εξίσωση συνέχειας. Δείξτε ότι θα έχει τη μορφή P J με το t x ρεύμα να ορίζεται όπως στην προηγούμενη άσκηση αλλά με i ( P ) mc t t (β) Δείξτε ότι η τελευταία ποσότητα δεν είναι θετικά ορισμένη και επομένως δεν μπορεί να ερμηνευθεί ως πυκνότητα πιθανότητας. (Αρκεί να πάρετε μια λύση της κυματικής 4 exp[ i( kx t)], οπότε θα βρείτε ότι P. Αλλά ( k) c m c.) mc Παρατηρείστε πόσο σημαντική είναι η απαίτηση να είναι η χρονική παράγωγος πρώτης τάξης. Άσκηση 6. x[, ] Σωμάτιο είναι δεσμευμένο σε απειρόβαθο «πηγάδι» δυναμικού : V( x). x [, ] x Οι ιδιοκαταστάσεις της Hamiltoia είναι ( x) si( ),,,... και οι αντίστοιχες ιδιοτιμές E. m (α) Δείξτε ότι dx ( x) m( x), m (ορθοκανονικότητα των ιδιοκαταστάσεων) 3

(β) Θεωρείστε δεδομένο ότι οποιαδήποτε συνάρτηση ( x) ικανοποιεί τις ίδιες συνοριακές συνθήκες με τις ( x ) (και είναι «αρκετά ομαλή) μπορεί να γραφεί με τη μορφή: ( x) c ( x) (πληρότητα των ιδιοκαταστάσεων) και δείξτε ότι c dx ( x) ( x). (γ) Χρησιμοποιείστε τα προηγούμενα συμπεράσματα για να δείξετε ότι: ( x) ( x) ( x x) ( ( x) ( x) dx ( x) ( x) dx ( x) ( x) ( x)... ) (δ) Με βάση τα προηγούμενα δείξτε ότι η λύση της εξ. Schrodiger μπορεί να γραφεί: ( x, t) c e ( x) i te (Υπ. : Μπορείτε να ξεκινήσετε από το γεγονός ότι η σχέση πληρότητας σας επιτρέπει να γράψετε: ( x, t) c ( t) ( x) με c ( t) dx ( x) ( x, t). Στη συνέχεια μπορείτε να πάτε στην εξίσωση Schrodiger και να αντικαταστήσετε την τελευταία. Το αποτέλεσμα i d te θα είναι i c ( t) Ec ( t) c ( t) e c() και έτσι θα καταλήξετε αμέσως στο dt ζητούμενο). (ε) Δείξτε ότι (Υπ.: Ξεκινείστε από την c και ότι H c E dx ( x, t) και χρησιμοποιείστε τα προηγούμενα αποτελέσματα για να καταλήξετε στην πρώτη από τις σχέσεις. Η δεύτερη θα προκύψει από τον ορισμό της μέσης τιμής και την ορθοκανονικότητα των.) (στ) Με βάση το προηγούμενο αποτέλεσμα εξηγείστε γιατί ερμηνεύουμε τους συντελεστές c ως πλάτη πιθανότητας να βρεθεί το σωμάτιο με ενέργειες E. (ζ) Αν το σωμάτιο έχει καθορισμένη ενέργεια (: είναι σε ιδιοκατάσταση της Hamiltoia) δείξτε ότι 3 6 x x, x x ( ), ( x) ( x) t ( ) t t 3 4

(η) Δείξτε ότι η πιθανότερη θέση του σωματιδίου (στην περίπτωση που έχει καθορισμένη ενέργεια ) είναι: x max,,3,5,..., (Υπ.: Δεν έχετε παρά να βρείτε που έχει μέγιστο η πυκνότητα πιθανότητας ( x ).) Άσκηση 7. Σωμάτιο βρίσκεται δεσμευμένο σε απειρόβαθο «πηγάδι» δυναμικού στην περιοχή,. (α) Μετρήσεις της ενέργειας έδωσαν τις τιμές E και E με αντίστοιχες συχνότητες εμφάνισης 7% και 3%. Γράψτε την πιο γενική μορφή της κυματοσυνάρτησης του σωματιδίου. (β) Μέτρηση της μέσης θέσης και της μέσης ορμής του σωματιδίου έδωσαν τις τιμές x a και p / b όπου a και b σταθερές με διαστάσεις μήκους. Με βάση αυτά τα αποτελέσματα προσδιορίστε πλήρως την κυματοσυνάρτηση του σωματιδίου. (γ) Μετά από χρόνο t μετράτε και πάλι την ενέργεια. Ποιές είναι οι τιμές που θα βρείτε και με ποιές πιθανότητες; (δ) Βρείτε πως θα αλλάξει (αν αλλάξει) η μέση θέση και η μέση ορμή του σωματιδίου. Άσκηση 8. Έστω ένα σωμάτιο το οποίο βρίσκεται δεσμευμένο σε μια περιοχή [, ] μέσα στην οποία είναι ελεύθερο. Το σωμάτιο έχει καθορισμένη ενέργεια. (α) Υπολογίστε, στο πλαίσιο της κλασικής φυσικής, την πιθανότητα να βρεθεί σε μια περιοχή εύρους x γύρω από κάποιο σημείο x Απ. : Μπορείτε εύκολα να τη βρείτε αν σκεφτείτε ότι δεν μπορεί παρά να είναι t P όπου t είναι ο χρόνος που του χρειάζεται για να διανύσει την περιοχή εύρους T x και T είναι ο χρόνος που του χρειάζεται για να καλύψει τη συνολική περιοχή που έχει στη διάθεσή του. Αφού το σωμάτιο είναι ελεύθερο η ταχύτητά του είναι σταθερή και t x επομένως P. Παρατηρείστε ότι η πιθανότητα αυτή δεν εξαρτάται από το πού T είναι το σημείο x αλλά μόνο από το εύρος της περιοχής (β) Υπολογίστε την ίδια πιθανότητα στο πλαίσιο της κβαντικής μηχανικής. x Απ.: x x/ x x x x P dxsi ( ) cos( )si( ). x x/ 5

x x x Παρατηρείστε ότι: Αν si( ) και επομένως x x x P [ cos( )] si ( ) x όπως θα περιμένατε. Αυτή, όμως, η πιθανότητα εξαρτάται,όπως είναι προφανές, δραστικά από το σημείο x. (γ) Δείξτε ότι στο όριο των μεγάλων κβαντικών αριθμών τα αποτελέσματα (α) και (β) συμπίπτουν. Απ.: Στο όριο δεν μπορούμε να θεωρήσουμε ότι x επομένως, και x x x αφού lim cos( )si( ), P. Σας λέει το αποτέλεσμα αυτό κάτι για την αρχή της αντιστοιχίας του Bohr ο οποίος θεωρούσε ότι στο όριο των μεγάλων κβαντικών αριθμών μπορούσε να χρησιμοποιεί τους κανόνες της κλασικής φυσικής; Άσκηση 9 Σωμάτιο βρίσκεται δεσμευμένο σε απειρόβαθο «πηγάδι» δυναμικού στην περιοχή,. Μετράμε την ενέργειά του και τη βρίσκουμε E. Στη συνέχεια μετράμε τη θέση του και τη βρίσκουμε κοντά στο /4. Αν, αμέσως μετά, μετρήσουμε και πάλι την ενέργεια ποιά είναι η πιθανότητα να βρούμε και πάλι E ; Απ. Η απάντηση μπορεί να δωθεί με τουλάχιστον δύο διαφορετικούς τρόπους. Ένας είναι να σκεφτείται ότι η ζητούμενη πιθανότητα δεν μπορεί παρά να είναι ίδια με την πιθανότητα αν έχει ενέργεια E να βρεθεί στη θέση /4. Αυτή, όμως, την πιθανότητα x τη βρήκατε ήδη στο προηγούμενο ερώτημα: P si ( ) x. Ένας άλλος τρόπος 4 είναι να προσδιορίσετε την κατάσταση του σωματίου μετά τη μέτρηση της θέσης. Αυτό μπορεί να γίνει αν σκεφτείται ότι θα πρέπει η συνάρτηση που το περιγράφει να είναι παντού μηδέν εκτός από τη γειτονιά του σημείου x /4 Επομένως : x /4 x /4 dx ( x) x x x /4 x /4 x x x c dx ( x) ( x) dxsi x 6

Άσκηση. Έστω ένα σωμάτιο το οποίο βρίσκεται δεσμευμένο σε μια περιοχή [, ] μέσα στην οποία είναι ελεύθερο. (α) Το σωμάτιο έχει καθορισμένη ενέργεια. Βρείτε το πλάτος πιθανότητας να έχει ορμή στην περιοχή [ p, p dp]. (Απ.: Αφού το σωμάτιο έχει καθορισμένη ενέργεια θα περιγράφεται από την x ( x) si( ),,,.... Το ζητούμενο πλάτος πιθανότητας θα βρεθεί από το px px dx i i x μετασχηματισμό Fourier: g( p) e ( x) dxe si( ). ia ia Το ολοκλήρωμα θα βρεθεί αν γράψετε si a ( e e ) και χρησιμοποιήσετε το i b ikx ( ikb ika / e dxe e e ). Το αποτέλεσμα είναι : g( p). Για το ik p a ( ) ( ) i i αποτέλεσμα αυτό αρκεί να δείτε ότι e cos( ) e ( ). Αν γράψετε e θα βρείτε αμέσως ότι p si ( ) g ( ) ( ) p. ) p ( ) ( ) Παρατηρείστε το προφανές: Το σωμάτιο, παρότι έχει καθορισμένη ενέργεια, δεν έχει καθορισμένη ορμή. Εξηγείστε αυτό που βρήκατε παρατηρώντας ότι [ Hˆ, pˆ ]. Γενικεύστε το συμπέρασμά σας για κάθε σωμάτιο που είναι δεσμευμένο σε μια πεπερασμένη περιοχή. (β) Βρείτε τη πιθανότερη τιμή της ορμής. ( Απ.: Το να παραγωγίσετε το πρηγούμενο αποτέλεσμα θα σας δώσει το σωστό αποτέλεσμα αλλά έχει αρκετές πράξεις. Μπορείτε να βρείτε την απάντηση εύκολα αν, για θετικές τιμές της ορμής γράψετε ia / ia ie si a p si ( ) g ( ) ( ) p p p ( ) ( ) si x Η συνάρτηση f( x) παρουσιάζει, όπως είναι εύκολο να ελεγχθεί, μέγιστο στη x θέση x και επομένως το μέγιστο της πιθανότητας είναι στη θέση p. Για αρνητικές τιμές της ορμής θα παρατηρήσετε ότι p i i 7

p p p si ( ) si [( ) ] si ( ) και θα γράψετε p si ( ) g ( ) ( ) p p p ( ) ( ) Το μέγιστο παρουσιάζετε τώρα στη θέση p.) Παρατηρείστε τα εξής: (α) Η κλασική σχέση ενέργειας ορμής E p /m που θα ίσχυε για ένα σωμάτιο το οποίο είναι ελεύθερο μέσα στο «πηγάδι», δεν ισχύει κβαντομηχανικά παρά μόνο για τις p πιθανότερες τιμές της ορμής : E. m m (β) Την κλασική σχέση μπορείτε να τη ξαναβρείτε στο όριο. Πράγματι βλέπετε ότι η πιθανότητα θα είναι g εκτός και αν βρισκόμαστε ακριβώς στο μέγιστο. Άσκηση. Έστω τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση ( x). Γράψτε xˆ xˆ xˆ, pˆ pˆ pˆ και ορίστε τη συνάρτηση ( x) ( pˆ iaxˆ) ( x) όπου a τυχαίος πραγματικός αριθμός. Ξεκινείστε από την προφανή σχέση (Απ.: dx ( x) και δείξτε ότι ( x)( p). dx ( x) dx ( pˆ ) ( pˆ ) ia( xˆ ) ( pˆ ) ia( pˆ ) ( xˆ ) a ( xˆ ) ( xˆ ) dx pˆ ia xˆ pˆ a xˆ p a a x [, ] ( ) ( ) Την τελευταία σχέση μπορείτε να τη δείτε σαν ένα τριώνυμο ως προς a. Για να ισχύει η ανισότητα θα πρέπει η διακρίνουσα να είναι αρνητική ή μηδέν: 4( x) ( p) ( x) ( p). ) 4 Η ισότητα ισχύει προφανώς για d a i pˆ ( x) iaxˆ ( x) ( x) ( x x) ( x) p ( x) dx ( x x) px ( x) Aexp a i. Στην τελευταία σχέση γράψαμε ˆx x και ˆp p. Η κατάσταση που περιγράφεται από μια συνάρτηση σαν κι αυτή που μόλις καταλήξαμε λέγεται (για προφανείς λόγους) κατάσταση ελάχιστης αβεβαιότητας 8

Άσκηση. Σωμάτιο είναι δεσμευμένο σε κάποια περιοχή του χώρου υπό την επίδραση κάποιου δυναμικού και έχει καθορισμένη ενέργεια. Δείξτε ότι αυτή είναι πάντα μεγαλύτερη από την ελάχιστη τιμή του δυναμικού. Απ. Ξεκινείστε από την Hˆ pˆ V ( xˆ) όπου η μέση τιμή είναι υπολογισμένη m στη δεδομένη κατάσταση για την οποία συζητάμε. Είναι προφανές ότι pˆ p pˆ pˆ p. Από τη σχέση αβεβαιότητας px και αφού (λόγω της δέσμευσης του σωματίου) x θα πρέπει p και έτσι pˆ p. Άρα Hˆ V ( xˆ ). Αφού η μέση τιμή οποιουδήποτε μεγέθους είναι μεγαλύτερη ή το πολύ ίση με την μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει το μέγεθος αυτό θα έχουμε Hˆ V ( xˆ ) V. Αν η κατάσταση για την οποία συζητάμε έχει mi καθορισμένη ενέργεια (είναι, δηλαδή, ιδιοκατάσταση της Hamiltoia) θα είναι Ĥ E και επομένως E Vmi. Άσκηση 3. Σωμάτιο βρίσκεται δεσμευμένο σε απειρόβαθο «πηγάδι» στην περιοχή /, /. Τη χρονική στιγμή t η κατάστασή του περιγράφεται από τη συνάρτηση: A / x, / x ( x) A / x, x / (α) Αφού βρείτε τη σταθερά κανονικοποίησης βρείτε ποιές είναι οι δυνατές τιμές της ενέργειάς του και ποιές οι αντίστοιχες πιθανότητες. Βρείτε πως θα άλλαζε η απαντησή σας με την πάροδο του χρόνου. (β) Η απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα θα σας δείξει ότι δεν είναι προσιτές στο σωμάτιο όλες οι διαθέσιμες ενέργειες του απειρόβαθου «πηγαδιού». Εξηγείστε αυτό το συμπέρασμα με βάση την ομοτιμία της κατάστασης του σωματίου. (γ) Τη χρονική στιγμή t μετράτε τη θέση του σωματιδίου. Ποιά είναι η πιθανότητα να την βρείτε στην περιοχή x /4; Ποιά θα είναι αυτή η πιθανότητα αν κάνετε τη μέτρηση μετά από χρόνο t ; Ας πούμε ότι κάποια χρονική χρονική στιγμή t t μετράτε την ενέργεια του σωματίου και αμέσως μετά μετράτε τη θέση του. Ποιά είναι η 9

πιθανότητα να την βρείτε και πάλι στην περιοχή x /4; Πώς θα αλλάζει αυτή η πιθανότητα με την πάροδο του χρόνου; Απ. / 3 (α) dx... A / / / Πρέπει να βρείτε τους συντελεστές στο ανάπτυγμα ( x) c( x). Επομένως πρέπει να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: / c dxsi x ( x) / / A dxsi x x A dxsi x x / / / A dy si y y A dy si y y / ( ) A dy si y y. Μπορείτε αμέσως να παρατηρήσετε ότι για k, k,,... το αποτέλεσμα μηδενίζεται και επομένως αποκλείεται να βρείτε ενέργειες που να αντιστοιχούν σε άρτιους κβαντικούς αριθμούς. Εύκολα θα βρείτε τώρα ότι / dy si y y si cos Αφού για k, k,,... cos( ) και k si( ) ( ) το τελικό σας αποτέλεσμα είναι: c k k 4 6 ( ) k (k ) k,,... Με την πάροδο του χρόνου θα έχετε i t ( x, t) ce ( x) E

Επομένως ούτε οι επιτρεπτές τιμές της ενέργειας αλλάζουν ούτε, βέβαια, οι αντίστοιχες πιθανότητες. (β) Οι ιδιοσυναρτήσεις στο συμμετρικό απειρόβαθο «πηγάδι» έχουν καθορισμένη ομοτιμία: Είναι είτε άρτιες συναρτήσεις του x είτε περιττές : x x k cos( ), k si( ), k,,3,... Το γεγονός αυτό οφείλεται στη συμμετρία του δυναμικού η οποία επιτρέπει στις καταστάσεις καθορισμένης ενέργειας να έχουν και καθορισμένη ομοτιμία (να είναι και ιδιοκαταστάσεις του τελεστή της ομοτιμίας.). Η αρχική κατάσταση του σωματιδίου είναι, όπως είναι προφανές, άρτια. Επομένως στο ανάπτυγμα ( x) c ( x) μπορούν να υπάρχουν μόνο άρτιες ιδιοσυναρτήσεις της Hamiltoia και επομένως οι συντελεστές c που αντιστοιχούν σε περιττές ιδιοσυναρτήσεις πρέπει να μηδενίζονται. (γ) P x / 4, t dx A dx / x A dx / x / 4 / 4 7 8 / 4 / 4 Το αποτέλεσμα αυτό θα αλλάξει ριζικά με την πάροδο του χρόνου. Η κατάσταση του σωματίου θα είναι, τη χρονική στιγμή t, η εξέλιξη της αρχικής συνάρτησης : i thˆ i tek k k k ( x, t) e ( x) c e cos( x) Η ζητούμενη πιθανότητα θα είναι τώρα : i /4 t ( E l E ) k k l P x / 4, t ck cle dx cos( x)cos( x) k l /4 Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος θα σας δώσει: k l k l /4 si( ) si( ) k l dx cos( x)cos( x) k l k l /4 Αν μετρήσετε πρώτα την ενέργεια και μετά τη θέση τα αποτελέσματα επίσης θα είναι διαφορετικά. Μετά τη μέτρηση της ενέργειας το σωματίδιο είναι σε κάποια από τις επιτρεπτές ιδιοκαταστάσεις της Hamiltoia: k k cos x Η ζητούμενη πιθανότητα θα είναι τώρα /4 k k ( ) P dx cos x k Άσκηση 4. /4 Σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε περιορισμένο σε ένα μονοδιάστατο αδιαπέραστο «κουτί» τα τοιχώματα του οποίου βρίσκονται στις θέσεις x / και x /.

Το σωμάτιο βρίσκεται στη βασική κατάσταση. Ξαφνικά τα τοιχώματα του κουτιού μετακινούνται συμμετρικά στις θέσεις x και x (α) Βρείτε την πιθανότητα μετά από αυτή τη μεταβολή το σωμάτιο να βρεθεί και πάλι στην κατάσταση ελάχιστης ενέργειας. (β) Βρείτε την πιθανότητα η ενέργεια του να μην αλλάξει. (γ) Ποιά είναι η αναμενόμενη τιμή της ενέργειας μετά τη ξαφνική επέκταση του κουτιού και πως αλλάζει με το χρόνο; Απ. Πριν από την επέκταση του «κουτιού» το σωμάτιο βρίσκεται στην ιδιοκατάσταση της Hamiltoia με τη χαμηλότερη ενέργεια : x cos( ), / x / ( x), E m Μετά την επέκταση το σωμάτιο βρίσκεται σε ένα διαφορετικό περιβάλλον αφού οι δυνάμεις που αισθάνεται περιγράφονται από το δυναμικό, x [, ] V( x), x [, ] Οι ιδιοκαταστάσεις και οι ιδιοτιμές της νέας Hamiltoia μπορούν να βρεθούν πολύ εύκολα με την πολύ απλή παρατήρηση ότι η μόνη αλλαγή που έγινε είναι ο διπλασιασμός του εύρους του «κουτιού» ( x) si[ ( x )], E m( ) Για την απάντηση μας χρειάζονται οι συντελεστές στο ανάπτυγμα δηλαδή οι ποσότητες ( x) c( x) / / / / x c dx ( x) ( x) dxsi[ ( x )]cos( ) ( ) ( ) si[ ] si[ ] si( ) 4 4 Από τη σχέση αυτή βλέπουμε ότι, πράγματι, μόνο οι συντελεστές με περιττό επιβιώνουν. Οι απαντήσεις τώρα στα ερωτήματα της άσκησης είναι τετριμμένες. (α) Χρειάζεται να εφαρμόσουμε το γενικό αποτέλεσμα για =: 3 8 64 c c (si si ) ( ),.6 4 3 4 3 3 9

(β) Αφού ( ) E m( ) m το ερώτημα αφορά στη δυνατότητα να βρεθεί το σωμάτιο στην πρώτη διεγερμένη κατάσταση του νέου «κουτιού». Αυτή προφανώς μηδενίζεται. (γ) Θα είναι / ˆ ˆ H dx( x) H( x) m / Σημειώστε ότι ο τελεστής της Hamiltoia που πρέπει να χρησιμοποιηθεί εδώ είναι αυτός που αντιστοιχεί στο διευρημένο «πηγάδι» ενώ τα όρια της ολοκλήρωσης θα πρέπει να είναι στην περιοχή x. Αλλά η συνάρτηση μηδενίζεται για x /και έτσι η περιοχή ολοκλήρωσης πρέπει να περιοριστεί στο διάστημα x / όπου έχουμε την αρχική Hamiltoia. Στο ίδιο αποτέλεσμα (αλλά με περισσότερο κόπο) θα καταλήγατε και αν χρησιμοποιούσατε τον ορισμό της μέσης τιμής Hˆ c E c E Το αποτέλεσμα που βρήκαμε είναι το ίδιο μ αυτό που θα έβρισκε κανείς και πριν από την επέκταση των ορίων του «κουτιού». Το αποτέλεσμα είναι αναμενόμενο αφού η μέση ενέργεια συμπεριφέρεται κλασικά και ο διπλασιασμός του χώρου κίνησης του σωματιδίου (όντας μια αδιαβατική μεταβολή) δεν θα επηρέαζε κλασικά την ενέργειά του. Άσκηση 5. Σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε περιορισμένο σε ένα μονοδιάστατο αδιαπέραστο «κουτί» τα τοιχώματα του οποίου βρίσκονται στις θέσεις x / και x /. Το σωμάτιο βρίσκεται στη βασική κατάσταση. Ξαφνικά τα τοιχώματα του κουτιού μετακινούνται στις θέσεις x 3 / και x / (α) Βρείτε την πιθανότητα μετά από αυτή τη μεταβολή το σωμάτιο να βρεθεί και πάλι στην κατάσταση ελάχιστης ενέργειας. (β) Βρείτε την πιθανότητα η ενέργεια του να μην αλλάξει. Υπ.: Δεν έχετε παρά να επαναλάβετε τα βήματα της προηγούμενης άσκησης. Θα βρείτε ( ) ( ) si[ ] si[ ] 3 c si( ) 4 4 4 και από εδώ θα διαβάσετε τις ζητούμενες πιθανότητες. 3

Άσκηση 6. Έστω δύο απειρόβαθα «πηγάδια». Το πρώτο στην περιοχή [ /,) και το δεύτερο στην περιοχή (, / ]. Ένα σωμάτιο βρίσκεται στην κατάσταση ελάχιστης ενέργειας και δεσμευμένο στο αριστερό πηγάδι. Κάποια χρονική στιγμή το ενδιάμεσο «τοίχωμα» αφαιρείται. Ποιά είναι η πιθανότητα να βρεθεί το σωμάτιο στη βασική κατάσταση του νέου «πηγαδιού»; Υπ.: Και πάλι θα πρέπει να δουλέψετε με το ίδιο πνεύμα. Η αρχική σας κατάσταση είναι x si( ), / x ( x), E και το ερώτημα θα απαντηθεί αμέσως με τον υπολογισμό m ( / ) x x 4 c dxsi( )cos( ) 3 / Άσκηση 7 Να βρεθούν οι δέσμιες καταστάσεις ενός σωματιδίου το οποίο βρίσκεται υπό την επήρεια του δυναμικού x V ( x) V x x Έχει πάντα λύση το πρόβλημα; Απ. : Στις 3 περιοχές του προβλήματός σας η λύση της εξ. Schrodiger είναι: όπου ( x), ( x) A si( kx) B cos( kx), ( x) A e I q II II II m E και m m k ( V E ) V q Απαιτώντας συνέχεια της κυματοσυνάρτησης και της παραγώγου της θα βρείτε την εξίσωση που προσδιορίζει τις δυνατές ενέργειες των δέσμιων καταστάσεων: k ta( k) () q III III qx 4

Μια μικρή διέρευνηση θα σας δείξει ότι δεν είναι πάντα δυνατό να ικανοποιηθεί η τελευταία σχέση και επομένως να έχουμε δέσμια κατάσταση:υψώνοντας στο τετράγωνο την εξίσωση () και γράφοντας k, g m V θα βρείτε si g g Η () όμως δηλώνει ότι ta και επομένως: ( ),,,3,... Άρα θα πρέπει g 4 4 m 4 m ( ) V ( ) Με άλλα λόγια στο συγκεκριμένο πρόβλημα η ύπαρξη δέσμιων καταστάσεων δεν είναι δεδομένη. Θα πρέπει το δυναμικό να είναι αρκετά "βαθύ" (: αρκούντως ελκτικό) ώστε να συμβεί αυτό. Η ελάχιστη τιμή του δυναμικού προκειμένου να δημιουργηθεί μία δέσμια κατάσταση είναι: V,mi 8m Άσκηση 8. Να βρεθούν οι δέσμιες καταστάσεις ενός σωματιδίου το οποίο βρίσκεται υπό την επήρεια του δυναμικού Aπ: x V ( x) V x x Λόγω της συμμετρίας του δυναμικού οι ιδιοκαταστάσεις της Hamiltoia θα έχουν καθορισμένη ομοτιμία (θα είναι είτε άρτιες είτε περιττές): Άρτιες: qx qx I( x) AIe, II ( x) AII cos( kx), III ( x) AI e Περιτές: qx ( x) A e, ( x) A si( kx), ( x) A e I I II II III I qx 5

( q και k όπως στο προηγούμενο πρόβλημα). Οι συνθήκες συνέχειας θα δώσουν τώρα τις εξισώσεις που προσδιορίζουν τις ενέργειες των δέσμιων καταστάσεων. Για τις άρτιες ιδιοσυναρτήσεις θα βρείτε: q ta( k) () k ενώ για τις περιττές: k ta( k) () q Όπως και στη προηγούμενη άσκηση έτσι και εδώ μπορείτε να κάνετε διερεύνηση των εξισώσεων () και (). g () si g, ta ( ),,,3,... g Αν λυθούν οι εξισώσεις αυτές η ενέργεια βρίσκεται αμέσως από την () cos g, ta ( ) ( ),,,3,... k E V V g m Έτσι για να έχετε άρτιες λύσεις θα πρέπει ( ) g V ( ) ( ) (3) m ενώ για να έχετε περιττές είναι αναγκαίο να ισχύει ότι: ( ) V ( ) (4) g 4 8m 8m Βλέπετε ότι υπάρχει πάντα μία τουλάχιστον δέσμια κατάσταση η οποία είναι άρτια. Όσο πιο ελκτικό γίνεται το δυναμικό τόσο πιο πολλές δέσμιες καταστάσεις εμφανίζονται. Είναι προφανές από τις (3) και (4) ότι: Αν V 8m θα έχετε δέσμια κατάσταση η οποία είναι άρτια. Αν 6

V 8m m θα έχετε δέσμιες καταστάσεις: Μία άρτια και μια περιττή. Στην περιοχή 9 V m 8m θα έχετε 3: άρτιες και περιττή. Γενικά στην περιοχή ( ) V ( ) m 8m έχουμε άρτιες και - περιττές δέσμιες καταστάσεις οι οποίες εναλλάσσονται μεταξύ τους. Στην περιοχή ( ) V ( ) 8m m έχουμε άρτιες και περιττές δέσμιες καταστάσεις οι οποίες εναλλάσσονται μεταξύ τους. Σε κάθε περίπτωση η κατάσταση χαμηλότερης ενέργειας είναι άρτια. (Θα καταλάβετε καλύτερα την προηγούμενη ανάλυση αν κάνετε ένα σχήμα.) Άσκηση 9 Να βρεθούν οι δέσμιες καταστάσεις σωματιδίου που βρίσκεται στο δυναμικό V ( x) ( x) Απ. Το δυναμικό αυτό είναι οριακή περίπτωση του δυναμικού του προηγουμένου προβλήματος όταν και V με τέτοιο τρόπο ώστε V /. Πράγματι. Στη περίπτωση που συζητάμε το δυναμικό είναι διάφορο του μηδενός μόνο στη θέση x και έτσι : Στο προηγούμενο πρόβλημα είχαμε dxv ( x) dx ( x) dxv ( x) dxv V 7 οπότε όταν θα πρέπει V με τρόπο ώστε V /. Για να λύσετε την άσκηση διακρίνετε δύο περιπτώσεις :

x όπου ( x) Ae qx και x όπου ( x) Ae ( q qx m E ) Αν λάβετε υπόψη την ασυνέχεια της πρώτης παραγώγου που οφείλεται στην παρουσία της δ-συνάρτησης θα βρείτε: m m m m ( ) ( ) () qa qa A q E Επομένως έχουμε μία δέσμια κατάσταση με την ενέργεια που δηλώνεται στην προηγούμενη σχέση και κυματοσυνάρτηση m ( x) Aexp( x ) Η σταθερά κανονικοποίησης μπορεί να υπολογισθεί εύκολα : A q m Το αποτέλεσμα αυτό θα μπορούσαμε να το πάρουμε και από την προηγούμενη άσκηση στο όριο που η εμβέλεια του δυναμικού γίνεται πολύ μικρή αλλά η ελκτικότητά του V πολύ μεγάλη έτσι ώστε V /. Πράγματι. Η σταθερά g της προηγούμενης άσκησης γράφεται g m V m και είναι επομένως (στο όριο ) πολύ μεγάλη. Είδαμε όμως ότι E g V και αυτό σημαίνει ότι η γωνία πρέπει να είναι πολύ μικρή αφού ο συνδυασμός g πρέπει να είναι λίγο μικρότερος από τη μονάδα. Έτσι, από τις εξισώσεις cos g και si g μόνο η πρώτη έχει λύση : E m cos ( ) g E V V 8

Άσκηση. Η κυματοσυνάρτηση ενός σωματιδίου, σε μια ορισμένη στιγμή, είναι: ax ( x) Ne, a (α) Υπολογίστε την πυκνότητα πιθανότητας να έχει το σωμάτιο ορμή μεταξύ p και p dp. (β) Βρείτε την πιθανότητα το σωμάτιο να έχει ορμή p Απ.: (α) N a i p p px ix( a) ix( a) h dx dx dx g( p) e ( x) N e N e... g( p) (β) 3 a ( a p / ) a 3 a 4 ( p a) dp dx ( a p / ) ( x ) Άσκηση. a /4 dcos xta 4 Θεωρείστε ένα σωμάτιο το οποίο βρίσκεται δεσμευμένο σε ελκτικό δυναμικό της μορφής V ( x) ( x). Φανταστείτε τώρα ότι το δυναμικό αλλάζει ξαφνικά και γίνεται V ( x) m x (α) Ποιές είναι οι δυνατές τιμές της ενέργειας του σωματίου; (β) Ποιά είναι η πιθανότητα να βρεθεί στη χαμηλότερη απ αυτές; Υπ.: Να δουλέψετε όπως στην άσκηση 4. Μπορείτε, όμως, να μαντέψετε την απάντηση αν σκεφτείτε ότι πριν από την αλλαγή η κατάσταση του σωματίου έχει τη μορφή qx ( x) qe, x a 9

Όπως είναι προφανές η συνάρτηση αυτή είναι άρτια συνάρτηση του x είναι, δηλαδή, ιδιοκατάσταση του τελεστή της ομοτιμίας με ιδιοτιμή +. Μετά τη μεταβολή το δυναμικό εξακολουθεί να είναι συμμετρικό ως προς την αρχή των αξόνων και επομένως οι ιδιοκαταστάσεις του έχουν καθορισμένη ομοτιμία είναι, δηλαδή, είτε άρτιες είτε περιττές συναρτήσεις του x. Επομένως το σωμάτιο μπορεί να βρεθεί μόνο σε άρτια ιδιοκατάσταση της νέας Hamiltoia αφού η αλλαγή δεν άλλαξε τη συμμετρία του συστήματος. Άσκηση. Να βρεθούν οι καταστάσεις καθορισμένης ενέργειας σωματίου το οποίο βρίσκεται στο δυναμικό V ( x) [ ( x a) ( x a)] Απ. Θα χωρίσετε το πρόβλημα σε τρείς περιοχές: I : x a, II : a x a, III : a x και θα σκεφτείτε ότι λόγω της αρτιότητας του δυναμικού θα έχετε είτε άρτιες είτε περιττές λύσεις: Για τις άρτιες θα βρείτε: qx AI e, x a ( x) AII cosh( qx), a x a qx AI e, a x Για τις περιττές θα έχετε: qx AI e, x a ( x) AII sih( qx), a x a qx AI e, a x Η απαίτηση της συνέχειας θα σας δώσει I ( a) II ( a) και η ασυνέχεια της πρώτης παραγώγου θα σας οδηγήσει στη σχέση m ( a ) ( a ) ( a) ( a) ( a) II I I ( Η συμμετρία του δυναμικού θα σας δώσει ακριβώς τις ίδιες εξισώσεις και στη θέση x a) Αν εφαρμόσετε τις παραπάνω σχέσεις για τις άρτιες λύσεις θα καταλήξετε στο συμπέρασμα ότι m tah( qa) () q Ενώ αν τις εφαρμόσετε για τις περιττές θα βρείτε ότι:

m coth( qa) () q Ενδιαφέρον έχει η διερεύνηση των παραπάνω εξισώσεων. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την x x sih x e e tah x x x cosh x e e coth x για να γράψετε την (): και την (): qa qa qa e e e m qa e q qa qa qa e e e q m (3) qa qa qa e e e m qa e q qa qa qa e e e q m (4) Εξετάζοντας την (3), η οποία αντιστοιχεί σε άρτιες λύσεις, βλέπετε ότι υπάρχει πάντα λύση : Οι καμπύλες αρκεί (αφού πάντα y q ( ) qa e qa e και ) y ( q) q έχουν πάντα ένα σημείο τομής m q m Η τελευταία ανισότητα σας λέει αμέσως ότι η ενέργεια της (άρτιας) ιδιοκατάστασης είναι μικρότερη από την ενέργεια που έχει σωματίδιο δεσμευμένο στο δυναμικό μιας μόνο δ-συνάρτησης: m E (5) Αν προσέξουμε τώρα ότι qa m e q E m θα συμπεράνουμε ότι m( ) m E (6) Η ισότητα στην τελευταία σχέση αντιστοιχεί στην περίπτωση στην οποία η απόσταση ανάμεσα στις δύο δ-συναρτήσεις μηδενίζεται οπότε, όπως είναι προφανές, έχουμε στην αρχή των αξόνων το ελκτικό δυναμικό που περιγράφεται από μια δ-συνάρτηση αλλά έχει διπλάσια ένταση. Για να καταλάβουμε την πληροφορία από το δεξί μέλος της ανισότητας ας σκεφτούμε το δυναμικό του προβλήματός μας σαν ένα μοντέλο ενός σωματίου το οποίο «αισθάνεται» την έλξη από δύο κέντρα τα οποία βρίσκονται σε σχετικά μικρή απόσταση μεταξύ τους. Η ανισότητα (5) συγκρίνει την ενέργεια ενός σωμάτιου δεσμευμένου σε ένα τέτοιο «μόριο» με την ενέργεια ενός σωματίου το οποίο

θα ήταν δεσμευμένο μόνο σε ένα ελκτικό κέντρο. Το συμπέρασμα που βγαίνει είναι ότι είνα ιενεργειακά οικονομικότερη η δημιουργία «μορίων». Ας πάμε τώρα στη σχέση (4) που αφορά στις περιττές ιδιοκαταστάσεις. Το πρώτο που βλέπουμε αν σχεδιάσουμε τις δύο καμπύλες y q ( ) qa e και y ( q) q m είναι ότι δεν έχουν πάντα κάποιο σημείο τομής. Επομένως η εξίσωση (4) δεν έχει πάντα λύση και έτσι δεν έχουμε πάντα ιδιοκατάσταση με αρνητική ομοτιμία. Ας το δούμε αυτό το σημείο πιο ποσοτικά. Μπορούμε κατ αρχή να βρούμε την εφαπτομένη της υπερβολής στο σημείο q=: d d qa y ( q) e a dq dq q q Για να έχουμε λύση θα πρέπει η κλίση της ευθείας να είναι μεγαλύτερη ή, το λιγότερο ίση, με την κλίση της εφαπτομένης: d d y( q) y( q) a a dq dq m m q q Από την τελευταία σχέση βλέπουμε ότι για να έχουμε δέσμια κατάσταση η οποία να είναι περιττή συνάρτηση θα πρέπει η ένταση του ελκτικού δυναμικού να είναι επαρκώς μεγάλη ή, για δεδομένη ένταση, η απόσταση ανάμεσα στα ελκτικά κέντρα να είναι μεγαλύτερη από μια ελάχιστη απόσταση: mi ή ma a mi m (7) Αν η συνθήκη αυτή δεν ικανοποιείται τότε έχουμε μόνο μία δέσμια κατάσταση η οποία είναι άρτια συνάρτηση του x, ενέργειά της μπορεί να βρεθεί αριθμητικά)και η τιμή της είναι στην περιοχή που καθορίζει η σχέση (6). Αν η συνθήκη (7) ικανοποιείται τότε έχουμε και μια δεύτερη δέσμια κατάσταση η οποία είναι περιττή συνάρτηση του x και της οποίας η ενέργεια θα βρεθεί και πάλι γραφικά. Το εύρος της ενέργειας τώρα θα βρεθεί αν παρατηρώντας τη σχέση (4) διαπιστώσουμε ότι θα πρέπει m q E m Με άλλα λόγια η περιττή ιδιοκατάσταση έχει (αν υπάρχει) μεγαλύτερη ενέργεια από την άρτια η οποία υπάρχει πάντα και είναι η βασική κατάσταση του συστήματος.